Sr Examen

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(x+lnx)+sin(x/(2x-4))
Derivada de la función/ x+lnx/ (x+lnx)+sin(x/(2x-4))

Derivada de (x+lnx)+sin(x/(2x-4))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                /   x   \
x + log(x) + sin|-------|
                \2*x - 4/
(x+log⁡(x))+sin⁡(x2x−4)\left(x + \log{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(\frac{x}{2 x - 4} \right)} 
x + log(x) + sin(x/(2*x - 4))
Solución detallada

  1. diferenciamos (x+log⁡(x))+sin⁡(x2x−4)\left(x + \log{\left(x \right)}\right) + \sin{\left(\frac{x}{2 x - 4} \right)} miembro por miembro:

    1. diferenciamos x+log⁡(x)x + \log{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      2. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

      Como resultado de: 1+1x1 + \frac{1}{x}

    2. Sustituimos u=x2x−4u = \frac{x}{2 x - 4}.

    3. La derivada del seno es igual al coseno:

      ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2x−4\frac{d}{d x} \frac{x}{2 x - 4}:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x y g(x)=2x−4g{\left(x \right)} = 2 x - 4.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. diferenciamos 2x−42 x - 4 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante −4-4 es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 22

          Como resultado de: 22

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −4(2x−4)2- \frac{4}{\left(2 x - 4\right)^{2}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −4cos⁡(x2x−4)(2x−4)2- \frac{4 \cos{\left(\frac{x}{2 x - 4} \right)}}{\left(2 x - 4\right)^{2}}

    Como resultado de: 1−4cos⁡(x2x−4)(2x−4)2+1x1 - \frac{4 \cos{\left(\frac{x}{2 x - 4} \right)}}{\left(2 x - 4\right)^{2}} + \frac{1}{x}

  2. Simplificamos:

    x3−3x2−xcos⁡(x2(x−2))+4x(x−2)2\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x \cos{\left(\frac{x}{2 \left(x - 2\right)} \right)} + 4}{x \left(x - 2\right)^{2}}

Respuesta:

x3−3x2−xcos⁡(x2(x−2))+4x(x−2)2\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x \cos{\left(\frac{x}{2 \left(x - 2\right)} \right)} + 4}{x \left(x - 2\right)^{2}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-200200
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
    1   /   1         2*x    \    /   x   \
1 + - + |------- - ----------|*cos|-------|
    x   |2*x - 4            2|    \2*x - 4/
        \          (2*x - 4) /
(−2x(2x−4)2+12x−4)cos⁡(x2x−4)+1+1x\left(- \frac{2 x}{\left(2 x - 4\right)^{2}} + \frac{1}{2 x - 4}\right) \cos{\left(\frac{x}{2 x - 4} \right)} + 1 + \frac{1}{x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                    2                
       /       x   \    /    x     \   /       x   \     /    x     \
       |-1 + ------|*cos|----------|   |-1 + ------| *sin|----------|
  1    \     -2 + x/    \2*(-2 + x)/   \     -2 + x/     \2*(-2 + x)/
- -- + ----------------------------- - ------------------------------
   2                     2                                2          
  x              (-2 + x)                       4*(-2 + x)
−(xx−2−1)2sin⁡(x2(x−2))4(x−2)2+(xx−2−1)cos⁡(x2(x−2))(x−2)2−1x2- \frac{\left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)^{2} \sin{\left(\frac{x}{2 \left(x - 2\right)} \right)}}{4 \left(x - 2\right)^{2}} + \frac{\left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \cos{\left(\frac{x}{2 \left(x - 2\right)} \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                    3                                  2                
       /       x   \    /    x     \   /       x   \     /    x     \     /       x   \     /    x     \
     3*|-1 + ------|*cos|----------|   |-1 + ------| *cos|----------|   3*|-1 + ------| *sin|----------|
2      \     -2 + x/    \2*(-2 + x)/   \     -2 + x/     \2*(-2 + x)/     \     -2 + x/     \2*(-2 + x)/
-- - ------------------------------- + ------------------------------ + --------------------------------
 3                      3                                 3                                 3           
x               (-2 + x)                        8*(-2 + x)                        2*(-2 + x)
(xx−2−1)3cos⁡(x2(x−2))8(x−2)3+3(xx−2−1)2sin⁡(x2(x−2))2(x−2)3−3(xx−2−1)cos⁡(x2(x−2))(x−2)3+2x3\frac{\left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)^{3} \cos{\left(\frac{x}{2 \left(x - 2\right)} \right)}}{8 \left(x - 2\right)^{3}} + \frac{3 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right)^{2} \sin{\left(\frac{x}{2 \left(x - 2\right)} \right)}}{2 \left(x - 2\right)^{3}} - \frac{3 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \cos{\left(\frac{x}{2 \left(x - 2\right)} \right)}}{\left(x - 2\right)^{3}} + \frac{2}{x^{3}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de (x+lnx)+sin(x/(2x-4))
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