Derivada de x*sqrt(25x^2+40*x+32)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{\left(25 x^{2} + 40 x\right) + 32}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \left(25 x^{2} + 40 x\right) + 32$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\left(25 x^{2} + 40 x\right) + 32\right)$:

      1. diferenciamos $\left(25 x^{2} + 40 x\right) + 32$ miembro por miembro:

         1. diferenciamos $25 x^{2} + 40 x$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $50 x$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $40$

            Como resultado de: $50 x + 40$

         2. La derivada de una constante $32$ es igual a cero.

         Como resultado de: $50 x + 40$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{50 x + 40}{2 \sqrt{\left(25 x^{2} + 40 x\right) + 32}}$

   Como resultado de: $\frac{x \left(50 x + 40\right)}{2 \sqrt{\left(25 x^{2} + 40 x\right) + 32}} + \sqrt{\left(25 x^{2} + 40 x\right) + 32}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \left(25 x^{2} + 30 x + 16\right)}{\sqrt{25 x^{2} + 40 x + 32}}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(25 x^{2} + 30 x + 16\right)}{\sqrt{25 x^{2} + 40 x + 32}}$