Sr Examen

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y=ln(x+tgx)
Derivada de la función/ x+tgx/ y=ln(x+tgx)

Derivada de y=ln(x+tgx)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
log(x + tan(x))
log⁡(x+tan⁡(x))\log{\left(x + \tan{\left(x \right)} \right)} 
log(x + tan(x))
Solución detallada

  1. Sustituimos u=x+tan⁡(x)u = x + \tan{\left(x \right)}.

  2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+tan⁡(x))\frac{d}{d x} \left(x + \tan{\left(x \right)}\right):

    1. diferenciamos x+tan⁡(x)x + \tan{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      2. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      3. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de: sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)+1\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)+1x+tan⁡(x)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1}{x + \tan{\left(x \right)}}

  4. Simplificamos:

    cos⁡2(x)+1(x+tan⁡(x))cos⁡2(x)\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}{\left(x + \tan{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

cos⁡2(x)+1(x+tan⁡(x))cos⁡2(x)\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}{\left(x + \tan{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
       2   
2 + tan (x)
-----------
 x + tan(x)
tan⁡2(x)+2x+tan⁡(x)\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 2}{x + \tan{\left(x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
               2                         
  /       2   \                          
  \2 + tan (x)/      /       2   \       
- -------------- + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)
    x + tan(x)                           
-----------------------------------------
                x + tan(x)
2(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)−(tan⁡2(x)+2)2x+tan⁡(x)x+tan⁡(x)\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right)^{2}}{x + \tan{\left(x \right)}}}{x + \tan{\left(x \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                              3                                                                 \
  |             2   /       2   \                                /       2   \ /       2   \       |
  |/       2   \    \2 + tan (x)/         2    /       2   \   3*\1 + tan (x)/*\2 + tan (x)/*tan(x)|
2*|\1 + tan (x)/  + -------------- + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/ - ------------------------------------|
  |                             2                                           x + tan(x)             |
  \                 (x + tan(x))                                                                   /
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             x + tan(x)
2((tan⁡2(x)+1)2+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)−3(tan⁡2(x)+1)(tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)x+tan⁡(x)+(tan⁡2(x)+2)3(x+tan⁡(x))2)x+tan⁡(x)\frac{2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{x + \tan{\left(x \right)}} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right)^{3}}{\left(x + \tan{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)}{x + \tan{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ln(x+tgx)
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