Derivada de ((z^3)*(exp(i*z/2)))/((i+z)^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

   $f{\left(z \right)} = z^{3} e^{\frac{i z}{2}}$ y $g{\left(z \right)} = \left(z + i\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$

      $f{\left(z \right)} = z^{3}$; calculamos $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $z^{3}$ tenemos $3 z^{2}$

      $g{\left(z \right)} = e^{\frac{i z}{2}}$; calculamos $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{i z}{2}$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \frac{i z}{2}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $i$

            Entonces, como resultado: $\frac{i}{2}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{i e^{\frac{i z}{2}}}{2}$

      Como resultado de: $\frac{i z^{3} e^{\frac{i z}{2}}}{2} + 3 z^{2} e^{\frac{i z}{2}}$

   Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = z + i$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z + i\right)$:

      1. diferenciamos $z + i$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $i$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 z + 2 i$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- z^{3} \left(2 z + 2 i\right) e^{\frac{i z}{2}} + \left(z + i\right)^{2} \left(\frac{i z^{3} e^{\frac{i z}{2}}}{2} + 3 z^{2} e^{\frac{i z}{2}}\right)}{\left(z + i\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{z^{2} \left(- 4 z + \left(z + i\right) \left(i z + 6\right)\right) e^{\frac{i z}{2}}}{2 \left(z + i\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{z^{2} \left(- 4 z + \left(z + i\right) \left(i z + 6\right)\right) e^{\frac{i z}{2}}}{2 \left(z + i\right)^{3}}$