Derivada de y=tan(sinx)+x²x=80°

1. diferenciamos $x x^{2} + \tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\cos{\left(x \right)} \cos{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \sin{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\sin^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

   3. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      $g{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $3 x^{2}$

   Como resultado de: $3 x^{2} + \frac{\sin^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $3 x^{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$3 x^{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$