Derivada de x*(e^x)*cos(4*x+1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x} x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $e^{x} + x e^{x}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 x + 1$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $4 x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $4$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 4 \sin{\left(4 x + 1 \right)}$

   Como resultado de: $- 4 x e^{x} \sin{\left(4 x + 1 \right)} + \left(e^{x} + x e^{x}\right) \cos{\left(4 x + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 4 x \sin{\left(4 x + 1 \right)} + \left(x + 1\right) \cos{\left(4 x + 1 \right)}\right) e^{x}$

Respuesta:

$\left(- 4 x \sin{\left(4 x + 1 \right)} + \left(x + 1\right) \cos{\left(4 x + 1 \right)}\right) e^{x}$