Derivada de y=(x^2+4x+1)sin^3x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 4 x\right) + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\left(x^{2} + 4 x\right) + 1$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $x^{2} + 4 x$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de: $2 x + 4$

      2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      Como resultado de: $2 x + 4$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $\left(2 x + 4\right) \sin^{3}{\left(x \right)} + 3 \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(\left(2 x + 4\right) \sin{\left(x \right)} + \left(3 x^{2} + 12 x + 3\right) \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\left(\left(2 x + 4\right) \sin{\left(x \right)} + \left(3 x^{2} + 12 x + 3\right) \cos{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)}$