Derivada de x*sqrt(0.45*x^2-2.4*x+4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \sqrt{9 x^{2} - 48 x + 80}$ y $g{\left(x \right)} = 2 \sqrt{5}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt{9 x^{2} - 48 x + 80}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 9 x^{2} - 48 x + 80$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(9 x^{2} - 48 x + 80\right)$:

         1. diferenciamos $9 x^{2} - 48 x + 80$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $80$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-48$

            3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $18 x$

            Como resultado de: $18 x - 48$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{18 x - 48}{2 \sqrt{9 x^{2} - 48 x + 80}}$

      Como resultado de: $\frac{x \left(18 x - 48\right)}{2 \sqrt{9 x^{2} - 48 x + 80}} + \sqrt{9 x^{2} - 48 x + 80}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $2 \sqrt{5}$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\sqrt{5} \left(\frac{x \left(18 x - 48\right)}{2 \sqrt{9 x^{2} - 48 x + 80}} + \sqrt{9 x^{2} - 48 x + 80}\right)}{10}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\sqrt{5} \left(9 x^{2} - 36 x + 40\right)}{5 \sqrt{9 x^{2} - 48 x + 80}}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{5} \left(9 x^{2} - 36 x + 40\right)}{5 \sqrt{9 x^{2} - 48 x + 80}}$