Derivada de y=(cos^3)(6x^2-7)*(3*x^4)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(6 x^{2} - 7\right) \cos^{3}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = 6 x^{2} - 7$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $6 x^{2} - 7$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $12 x$

         2. La derivada de una constante $-7$ es igual a cero.

         Como resultado de: $12 x$

      Como resultado de: $12 x \cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \left(6 x^{2} - 7\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = 3 x^{4}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

      Entonces, como resultado: $12 x^{3}$

   Como resultado de: $3 x^{4} \left(12 x \cos^{3}{\left(x \right)} - 3 \left(6 x^{2} - 7\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + 12 x^{3} \left(6 x^{2} - 7\right) \cos^{3}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $x^{3} \left(- 54 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 108 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 63 x \sin{\left(x \right)} - 84 \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}$

Respuesta:

$x^{3} \left(- 54 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 108 x^{2} \cos{\left(x \right)} + 63 x \sin{\left(x \right)} - 84 \cos{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}$