Derivada de y=8cosx+sin7x−16xx*exp(-x)

1. diferenciamos $- x 16 x e^{- x} + \left(\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\sin{\left(7 x \right)} + 8 \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- 8 \sin{\left(x \right)}$

      2. Sustituimos $u = 7 x$.

      3. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $7$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $7 \cos{\left(7 x \right)}$

      Como resultado de: $- 8 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(7 x \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = x^{2}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $e^{x}$ es.

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\left(- x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{- 2 x}$

         Entonces, como resultado: $16 \left(- x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{- 2 x}$

      Entonces, como resultado: $- 16 \left(- x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{- 2 x}$

   Como resultado de: $- 16 \left(- x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{- 2 x} - 8 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(7 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(16 x^{2} - 32 x + \left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(7 x \right)}\right) e^{x}\right) e^{- x}$

Respuesta:

$\left(16 x^{2} - 32 x + \left(- 8 \sin{\left(x \right)} + 7 \cos{\left(7 x \right)}\right) e^{x}\right) e^{- x}$