Derivada de y*y*sin(y^3)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

   $f{\left(y \right)} = y y$; calculamos $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

      $f{\left(y \right)} = y$; calculamos $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

      $g{\left(y \right)} = y$; calculamos $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

      Como resultado de: $2 y$

   $g{\left(y \right)} = \sin{\left(y^{3} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. Sustituimos $u = y^{3}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} y^{3}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $y^{3}$ tenemos $3 y^{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 y^{2} \cos{\left(y^{3} \right)}$

   Como resultado de: $3 y^{4} \cos{\left(y^{3} \right)} + 2 y \sin{\left(y^{3} \right)}$

2. Simplificamos:

   $y \left(3 y^{3} \cos{\left(y^{3} \right)} + 2 \sin{\left(y^{3} \right)}\right)$

Respuesta:

$y \left(3 y^{3} \cos{\left(y^{3} \right)} + 2 \sin{\left(y^{3} \right)}\right)$