Derivada de y=(ax^2+bx+c)^n

Ha introducido [src]

                n
/   2          \ 
\a*x  + b*x + c/

$$\left(c + \left(a x^{2} + b x\right)\right)^{n}$$

(a*x^2 + b*x + c)^n

Solución detallada

Sustituimos $u = c + \left(a x^{2} + b x\right)$ .
Según el principio, aplicamos: $u^{n}$ tenemos $\frac{n u^{n}}{u}$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(c + \left(a x^{2} + b x\right)\right)$ :
1. diferenciamos $c + \left(a x^{2} + b x\right)$ miembro por miembro:
  1. diferenciamos $a x^{2} + b x$ miembro por miembro:
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$
      Entonces, como resultado: $2 a x$
    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Entonces, como resultado: $b$
    Como resultado de: $2 a x + b$
  2. La derivada de una constante $c$ es igual a cero.
  Como resultado de: $2 a x + b$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{n \left(c + \left(a x^{2} + b x\right)\right)^{n} \left(2 a x + b\right)}{c + \left(a x^{2} + b x\right)}$
Simplificamos:

$n \left(2 a x + b\right) \left(a x^{2} + b x + c\right)^{n - 1}$

Respuesta:

$n \left(2 a x + b\right) \left(a x^{2} + b x + c\right)^{n - 1}$

Primera derivada [src]

                  n            
  /   2          \             
n*\a*x  + b*x + c/ *(b + 2*a*x)
-------------------------------
            2                  
         a*x  + b*x + c

$$\frac{n \left(c + \left(a x^{2} + b x\right)\right)^{n} \left(2 a x + b\right)}{c + \left(a x^{2} + b x\right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

                  n /                  2                 2\
  /       2      \  |       (b + 2*a*x)     n*(b + 2*a*x) |
n*\c + a*x  + b*x/ *|2*a - -------------- + --------------|
                    |             2                2      |
                    \      c + a*x  + b*x   c + a*x  + b*x/
-----------------------------------------------------------
                              2                            
                       c + a*x  + b*x

$$\frac{n \left(2 a + \frac{n \left(2 a x + b\right)^{2}}{a x^{2} + b x + c} - \frac{\left(2 a x + b\right)^{2}}{a x^{2} + b x + c}\right) \left(a x^{2} + b x + c\right)^{n}}{a x^{2} + b x + c}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                  n             /                    2            2            2                  2\
  /       2      \              |       2*(b + 2*a*x)            n *(b + 2*a*x)    3*n*(b + 2*a*x) |
n*\c + a*x  + b*x/ *(b + 2*a*x)*|-6*a + -------------- + 6*a*n + --------------- - ----------------|
                                |              2                         2                 2       |
                                \       c + a*x  + b*x            c + a*x  + b*x    c + a*x  + b*x /
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                         2                                          
                                         /       2      \                                           
                                         \c + a*x  + b*x/

$$\frac{n \left(2 a x + b\right) \left(a x^{2} + b x + c\right)^{n} \left(6 a n - 6 a + \frac{n^{2} \left(2 a x + b\right)^{2}}{a x^{2} + b x + c} - \frac{3 n \left(2 a x + b\right)^{2}}{a x^{2} + b x + c} + \frac{2 \left(2 a x + b\right)^{2}}{a x^{2} + b x + c}\right)}{\left(a x^{2} + b x + c\right)^{2}}$$

Simplificar

3-я производная [src]

                  n             /                    2            2            2                  2\
  /       2      \              |       2*(b + 2*a*x)            n *(b + 2*a*x)    3*n*(b + 2*a*x) |
n*\c + a*x  + b*x/ *(b + 2*a*x)*|-6*a + -------------- + 6*a*n + --------------- - ----------------|
                                |              2                         2                 2       |
                                \       c + a*x  + b*x            c + a*x  + b*x    c + a*x  + b*x /
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                         2                                          
                                         /       2      \                                           
                                         \c + a*x  + b*x/

$$\frac{n \left(2 a x + b\right) \left(a x^{2} + b x + c\right)^{n} \left(6 a n - 6 a + \frac{n^{2} \left(2 a x + b\right)^{2}}{a x^{2} + b x + c} - \frac{3 n \left(2 a x + b\right)^{2}}{a x^{2} + b x + c} + \frac{2 \left(2 a x + b\right)^{2}}{a x^{2} + b x + c}\right)}{\left(a x^{2} + b x + c\right)^{2}}$$

Simplificar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de y=(ax^2+bx+c)^n

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución