Derivada de y=cos(4x)/sinx-x3e5x

1. diferenciamos $- x e_{5} x_{3} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 4 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- 4 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $- e_{5} x_{3}$

   Como resultado de: $- e_{5} x_{3} + \frac{- 4 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(4 x \right)} - \cos{\left(x \right)} \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- e_{5} x_{3} - 2 \cos{\left(x \right)} - 6 \cos{\left(3 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} - 1}$

Respuesta:

$- e_{5} x_{3} - 2 \cos{\left(x \right)} - 6 \cos{\left(3 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)} - 1}$