Derivada de y=1/3e^x(sinx+cosx)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$ y $g{\left(x \right)} = 3$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{3} + \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}}{3}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{3}$

Respuesta:

$\frac{2 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{3}$