Derivada de cot(log(x))

1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

   Method #1

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

   Method #2

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(\log{\left(x \right)} \right)} = \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} - \frac{\cos^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}}{\sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{1}{x \sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{1}{x \sin^{2}{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}$