Sr Examen

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y=tg^3x/3-ctg^2x/2+lnsinx
Derivada de la función/ ctg^2/ tg^3x/ tg^2x/ lnsinx/ y=tg^3x/3-ctg^2x/2+lnsinx

Derivada de y=tg^3x/3-ctg^2x/2+lnsinx

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   3         2                 
tan (x)   cot (x)              
------- - ------- + log(sin(x))
   3         2
(tan⁡3(x)3−cot⁡2(x)2)+log⁡(sin⁡(x))\left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{2}\right) + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} 
tan(x)^3/3 - cot(x)^2/2 + log(sin(x))
Solución detallada

  1. diferenciamos (tan⁡3(x)3−cot⁡2(x)2)+log⁡(sin⁡(x))\left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{2}\right) + \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} miembro por miembro:

    1. diferenciamos tan⁡3(x)3−cot⁡2(x)2\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{2} miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          3(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Entonces, como resultado: (sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=cot⁡(x)u = \cot{\left(x \right)}.

        2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x)\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}:

          1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

            Method #1

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

              cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

            2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

            3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

            4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

              1. ddxtan⁡(x)=1cos⁡2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

            Method #2

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

              cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

              ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

              f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

              Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

              Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. La derivada del seno es igual al coseno:

                ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

              Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

              −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

        Entonces, como resultado: (sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de: (sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡2(x)cos⁡2(x)+(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    2. Sustituimos u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

    3. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

    Como resultado de: (sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡2(x)cos⁡2(x)+(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cot⁡(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    sin⁡2(x)cos⁡4(x)−1tan⁡3(x)+2cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\tan^{3}{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

Respuesta:

sin⁡2(x)cos⁡4(x)−1tan⁡3(x)+2cos⁡(x)sin⁡3(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\tan^{3}{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-20000002000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
         /          2   \             2    /         2   \
cos(x)   \-2 - 2*cot (x)/*cot(x)   tan (x)*\3 + 3*tan (x)/
------ - ----------------------- + -----------------------
sin(x)              2                         3
(3tan⁡2(x)+3)tan⁡2(x)3−(−2cot⁡2(x)−2)cot⁡(x)2+cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{3} - \frac{\left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \cot{\left(x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                  2      2                                               2                                 
     /       2   \    cos (x)        2    /       2   \     /       2   \                3    /       2   \
-1 - \1 + cot (x)/  - ------- - 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 2*\1 + tan (x)/ *tan(x) + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/
                         2                                                                                 
                      sin (x)
2(tan⁡2(x)+1)2tan⁡(x)+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡3(x)−(cot⁡2(x)+1)2−2(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)−1−cos⁡2(x)sin⁡2(x)2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{3}{\left(x \right)} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} - 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} - 1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /             3      3                                                                                  2                         2        \
  |/       2   \    cos (x)   cos(x)        3    /       2   \        4    /       2   \     /       2   \             /       2   \     2   |
2*|\1 + tan (x)/  + ------- + ------ + 2*cot (x)*\1 + cot (x)/ + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 4*\1 + cot (x)/ *cot(x) + 7*\1 + tan (x)/ *tan (x)|
  |                    3      sin(x)                                                                                                         |
  \                 sin (x)                                                                                                                  /
2((tan⁡2(x)+1)3+7(tan⁡2(x)+1)2tan⁡2(x)+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡4(x)+4(cot⁡2(x)+1)2cot⁡(x)+2(cot⁡2(x)+1)cot⁡3(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡3(x)sin⁡3(x))2 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3} + 7 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{4}{\left(x \right)} + 4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \cot{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{3}{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=tg^3x/3-ctg^2x/2+lnsinx
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