Derivada de x*sin(5*x)/sin(4)^(2*x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \sin{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin^{2 x}{\left(4 \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 \cos{\left(5 x \right)}$

      Como resultado de: $5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. $\frac{d}{d u} \sin^{u}{\left(4 \right)} = \left(\log{\left(- \sin{\left(4 \right)} \right)} + i \pi\right) \sin^{u}{\left(4 \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \left(\log{\left(- \sin{\left(4 \right)} \right)} + i \pi\right) \sin^{2 x}{\left(4 \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- 2 x \left(\log{\left(- \sin{\left(4 \right)} \right)} + i \pi\right) \sin^{2 x}{\left(4 \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \left(5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}\right) \sin^{2 x}{\left(4 \right)}\right) \sin^{- 4 x}{\left(4 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 2 x \left(\log{\left(- \sin{\left(4 \right)} \right)} + i \pi\right) \sin{\left(5 x \right)} + 5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}\right) \sin^{- 2 x}{\left(4 \right)}$

Respuesta:

$\left(- 2 x \left(\log{\left(- \sin{\left(4 \right)} \right)} + i \pi\right) \sin{\left(5 x \right)} + 5 x \cos{\left(5 x \right)} + \sin{\left(5 x \right)}\right) \sin^{- 2 x}{\left(4 \right)}$