Derivada de tan(x^4)

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(x^{4} \right)} = \frac{\sin{\left(x^{4} \right)}}{\cos{\left(x^{4} \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{4} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{4} \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{4}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{4}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $4 x^{3} \cos{\left(x^{4} \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{4}$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{4}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 4 x^{3} \sin{\left(x^{4} \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{4 x^{3} \sin^{2}{\left(x^{4} \right)} + 4 x^{3} \cos^{2}{\left(x^{4} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{4} \right)}}$

3. Simplificamos:

   $\frac{4 x^{3}}{\cos^{2}{\left(x^{4} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{3}}{\cos^{2}{\left(x^{4} \right)}}$