Derivada de tan(t)

1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

   $\tan{\left(t \right)} = \frac{\sin{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)}}$

2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

   $f{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

3. Simplificamos:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$