Derivada de x*tan(t)

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(t \right)} = \frac{\sin{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

      $f{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

   Entonces, como resultado: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$