Derivada de y=lncosx:3x*exp(-x)

Solución

Ha introducido [src]

log(cos(x))    -x
-----------*x*e  
     3

$$x \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{3} e^{- x}$$

((log(cos(x))/3)*x)*exp(-x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 3 e^{x}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$ .
  2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
  1. Derivado $e^{x}$ es.
  Entonces, como resultado: $3 e^{x}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\left(- 3 x e^{x} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + 3 \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}}{9}$
Simplificamos:

$\frac{\left(- x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) e^{- x}}{3}$

Respuesta:

$\frac{\left(- x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) e^{- x}}{3}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                                  -x            
/log(cos(x))   x*sin(x)\  -x   x*e  *log(cos(x))
|----------- - --------|*e   - -----------------
\     3        3*cos(x)/               3

$$- \frac{x e^{- x} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{3} + \left(- \frac{x \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{3}\right) e^{- x}$$

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Segunda derivada [src]

/                                   /       2   \                        \    
|                                   |    sin (x)|   2*sin(x)   2*x*sin(x)|  -x
|-2*log(cos(x)) + x*log(cos(x)) - x*|1 + -------| - -------- + ----------|*e  
|                                   |       2   |    cos(x)      cos(x)  |    
\                                   \    cos (x)/                        /    
------------------------------------------------------------------------------
                                      3

$$\frac{\left(- x \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) + x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{2 x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 2 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right) e^{- x}}{3}$$

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Tercera derivada [src]

/                                                                           /       2   \                     \    
|                                                                           |    sin (x)|                     |    
|                                                                       2*x*|1 + -------|*sin(x)              |    
|       /       2   \      2                                                |       2   |                     |    
|       |    sin (x)|   sin (x)   2*sin(x)   x*log(cos(x))   x*sin(x)       \    cos (x)/                     |  -x
|-1 + x*|1 + -------| - ------- + -------- - ------------- - -------- - ------------------------ + log(cos(x))|*e  
|       |       2   |      2       cos(x)          3          cos(x)            3*cos(x)                      |    
\       \    cos (x)/   cos (x)                                                                               /

$$\left(- \frac{2 x \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{3 \cos{\left(x \right)}} + x \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) - \frac{x \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{3} - \frac{x \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 1\right) e^{- x}$$

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Gráfico

Otras calculadoras

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Solución