Derivada de y=(sqrt(x^2+1)/(cos2x))+2^x

1. diferenciamos $2^{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\cos{\left(2 x \right)}}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 1}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Como resultado de: $2 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 2 \sqrt{x^{2} + 1} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

   2. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}$

   Como resultado de: $2^{x} \log{\left(2 \right)} + \frac{\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 2 \sqrt{x^{2} + 1} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2^{x} \sqrt{x^{2} + 1} \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} + x \cos{\left(2 x \right)} + \left(2 x^{2} + 2\right) \sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2^{x} \sqrt{x^{2} + 1} \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)} + x \cos{\left(2 x \right)} + \left(2 x^{2} + 2\right) \sin{\left(2 x \right)}}{\sqrt{x^{2} + 1} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$