Derivada de e^(2x)*sqrt(2^x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{2 x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 e^{2 x}$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{2^{x}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2^{x}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2^{x}$:

      1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2^{\frac{x}{2}} \log{\left(2 \right)}}{2}$

   Como resultado de: $\frac{2^{\frac{x}{2}} e^{2 x} \log{\left(2 \right)}}{2} + 2 \cdot 2^{\frac{x}{2}} e^{2 x}$

2. Simplificamos:

   $2^{\frac{x}{2} - 1} \left(\log{\left(2 \right)} + 4\right) e^{2 x}$

Respuesta:

$2^{\frac{x}{2} - 1} \left(\log{\left(2 \right)} + 4\right) e^{2 x}$