Derivada de x*e^(-x)*cos(5*x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \cos{\left(5 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

      Como resultado de: $- 5 x \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- x e^{x} \cos{\left(5 x \right)} + \left(- 5 x \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 5 x \sin{\left(5 x \right)} - x \cos{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{- x}$

Respuesta:

$\left(- 5 x \sin{\left(5 x \right)} - x \cos{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}\right) e^{- x}$