Derivada de y=ln(4x+5x2)(1/x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(4 x + 5 x_{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 x + 5 x_{2}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(4 x + 5 x_{2}\right)$:

      1. diferenciamos $4 x + 5 x_{2}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         2. La derivada de una constante $5 x_{2}$ es igual a cero.

         Como resultado de: $4$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{4}{4 x + 5 x_{2}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\frac{4 x}{4 x + 5 x_{2}} - \log{\left(4 x + 5 x_{2} \right)}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4 x - \left(4 x + 5 x_{2}\right) \log{\left(4 x + 5 x_{2} \right)}}{x^{2} \left(4 x + 5 x_{2}\right)}$

Respuesta:

$\frac{4 x - \left(4 x + 5 x_{2}\right) \log{\left(4 x + 5 x_{2} \right)}}{x^{2} \left(4 x + 5 x_{2}\right)}$