Ecuación diferencial sin^2(y)-y'x^8=0

Tenemos la ecuación:
$$- x^{8} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{8}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{1}{x^{8}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{8}}$$
o
$$\frac{dy}{\sin^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = \frac{dx}{x^{8}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{1}{x^{8}}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\cos{\left(y \right)}}{\sin{\left(y \right)}} = Const - \frac{1}{7 x^{7}}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(- C_{1} + \frac{\sqrt{49 C_{1}^{2} x^{14} - 14 C_{1} x^{7} + 49 x^{14} + 1}}{7 x^{7}} + \frac{1}{7 x^{7}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(C_{1} + \frac{\sqrt{49 C_{1}^{2} x^{14} - 14 C_{1} x^{7} + 49 x^{14} + 1}}{7 x^{7}} - \frac{1}{7 x^{7}} \right)}$$