Sr Examen
Ecuación diferencial sin(x+y)/2+y'=sin(x-y)/2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
sin(x + y(x)) d sin(x - y(x))
------------- + --(y(x)) = -------------
2 dx 2
$$\frac{\sin{\left(x + y{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x - y{\left(x \right)} \right)}}{2}$$
sin(x + y)/2 + y' = sin(x - y)/2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\sin{\left(x + y{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x - y{\left(x \right)} \right)}}{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \cos{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \cos{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \cos{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} + 1 \right)}}{2} = Const - \sin{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}}{C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}}{C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}} \right)}$$
$$\frac{\sin{\left(x + y{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x - y{\left(x \right)} \right)}}{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \cos{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \cos{\left(x \right)}$$
o
$$\frac{dy}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx \cos{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sin{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} + 1 \right)}}{2} = Const - \sin{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}}{C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}}{C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ 2*sin(x)\
|-C1 - e |
y(x) = - acos|---------------| + 2*pi
| 2*sin(x)|
\ C1 - e /
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}}{C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}} \right)} + 2 \pi$$
/ 2*sin(x)\
|-C1 - e |
y(x) = acos|---------------|
| 2*sin(x)|
\ C1 - e /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}}{C_{1} - e^{2 \sin{\left(x \right)}}} \right)}$$
Clasificación
factorable
1st exact
1st power series
lie group
1st exact Integral