Sr Examen

Ecuación diferencial siny*dx-x*dy+0

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
    d                       
- x*--(y(x)) + sin(y(x)) = 0
    dx                      
$$- x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
-x*y' + sin(y) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dy}{\sin{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - \frac{dx}{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\sin{\left(y \right)}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(\cos{\left(y \right)} + 1 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{- x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}{x^{2} e^{2 C_{1}} - 1} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{- x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}{x^{2} e^{2 C_{1}} - 1} \right)}$$
Respuesta [src]
             /      2  2*C1\       
             |-1 - x *e    |       
y(x) = - acos|-------------| + 2*pi
             |      2  2*C1|       
             \-1 + x *e    /       
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{- x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}{x^{2} e^{2 C_{1}} - 1} \right)} + 2 \pi$$
           /      2  2*C1\
           |-1 - x *e    |
y(x) = acos|-------------|
           |      2  2*C1|
           \-1 + x *e    /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{- x^{2} e^{2 C_{1}} - 1}{x^{2} e^{2 C_{1}} - 1} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
separable reduced Integral
Respuesta numérica [src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.5941861411085282)
(-5.555555555555555, 0.4305845152887963)
(-3.333333333333333, 0.260927145408612)
(-1.1111111111111107, 0.08741684799907734)
(1.1111111111111107, -0.0874168690976385)
(3.333333333333334, -0.2609273774897757)
(5.555555555555557, -0.43058490510760644)
(7.777777777777779, -0.5941867459663406)
(10.0, -0.7500007630733552)
(10.0, -0.7500007630733552)