Ecuación diferencial y'+(sin((x+y)/2)-sin((x-y)/2))*x'=0

Tenemos la ecuación:
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)} + \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 2 \sin{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$2 \sin{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)}} = - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2 \sin{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)}} = - dx \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
o
$$\frac{dy}{2 \sin{\left(\frac{y{\left(x \right)}}{2} \right)}} = - dx \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{2 \sin{\left(\frac{y}{2} \right)}}\, dy = \int \left(- \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{y}{2} \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(\frac{y}{2} \right)} + 1 \right)}}{2} = Const - 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{C_{1} - e^{4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}} \right)} + 4 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{acos}{\left(\frac{- C_{1} - e^{4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}}{C_{1} - e^{4 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}} \right)}$$