Sr Examen
Ecuación diferencial sin(2*x)dx+e^(-3*y)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d -3*y(x) --(y(x))*e + sin(2*x) = 0 dx
$$\sin{\left(2 x \right)} + e^{- 3 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
sin(2*x) + exp(-3*y)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sin{\left(2 x \right)} + e^{- 3 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{3 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$e^{3 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$e^{- 3 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx e^{- 3 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(2 x \right)}$$
o
$$dy e^{- 3 y{\left(x \right)}} = - dx \sin{\left(2 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int e^{- 3 y}\, dy = \int \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{e^{- 3 y}}{3} = Const + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{C_{1} + 3 \cos{\left(2 x \right)}} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \cos{\left(2 x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + \left(-3\right) \sqrt[6]{3} i\right)}{6} \right)}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \cos{\left(2 x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6} \right)}$$
$$\sin{\left(2 x \right)} + e^{- 3 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = e^{3 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$e^{3 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$e^{- 3 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx e^{- 3 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - dx \sin{\left(2 x \right)}$$
o
$$dy e^{- 3 y{\left(x \right)}} = - dx \sin{\left(2 x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int e^{- 3 y}\, dy = \int \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{e^{- 3 y}}{3} = Const + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{C_{1} + 3 \cos{\left(2 x \right)}} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \cos{\left(2 x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + \left(-3\right) \sqrt[6]{3} i\right)}{6} \right)}$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \cos{\left(2 x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ -1 \
log|---------------|
log(2) \C1 + 3*cos(2*x)/
y(x) = ------ + --------------------
3 3
$$y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{C_{1} + 3 \cos{\left(2 x \right)}} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{3}$$
/ _______________ \
|3 ___ / -1 / 2/3 6 ___\|
|\/ 2 *3 / ------------- *\- 3 - 3*I*\/ 3 /|
| \/ C1 + cos(2*x) |
y(x) = log|----------------------------------------------|
\ 6 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \cos{\left(2 x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} - 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6} \right)}$$
/ _______________ \
|3 ___ / -1 / 2/3 6 ___\|
|\/ 2 *3 / ------------- *\- 3 + 3*I*\/ 3 /|
| \/ C1 + cos(2*x) |
y(x) = log|----------------------------------------------|
\ 6 /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{- \frac{1}{C_{1} + \cos{\left(2 x \right)}}} \left(- 3^{\frac{2}{3}} + 3 \sqrt[6]{3} i\right)}{6} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 12.827648669284823)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 1.7373559329555976e-47)
(7.777777777777779, 8.388243567337748e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)