Ecuación diferencial dy/(4+y)+dx=0

Tenemos la ecuación:
$$\frac{dy}{dx y{\left(x \right)} + 4 dx} + 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(y)*f2(y')*y'' = g1(y)*g2(y')

Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
Pasemos la ecuación a la forma

f2(y')/g2(y')*y'' = g1(y)/f1(y)

En nuestro caso
$$\operatorname{f_{1}}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)} = \frac{1}{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y{\left(x \right)} \right)} = - \frac{1}{dx y{\left(x \right)} + 4 dx}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \right)} = dy$$
es decir
$$\frac{1}{dy} = - \frac{1}{dx y{\left(x \right)} + 4 dx}$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx
$$\frac{dx}{dy} = - \frac{dx}{dx y{\left(x \right)} + 4 dx}$$
Como

y'=dy/dx

entonces

dx=dy/y'

entonces
$$\frac{dx}{dy} = \frac{dy \left(- \frac{1}{dx y{\left(x \right)} + 4 dx}\right)}{\left(\begin{cases} x & \text{for}\: 0 = 1 \\1 & \text{for}\: 1 = 1 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}$$
o
$$dx \frac{\left(\begin{cases} x & \text{for}\: 0 = 1 \\1 & \text{for}\: 1 = 1 \\0 & \text{otherwise} \end{cases}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dy} = dy \left(- \frac{1}{dx y{\left(x \right)} + 4 dx}\right)$$
$$dx \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dy} = dy \left(- \frac{1}{dx y{\left(x \right)} + 4 dx}\right)$$
$$\int \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dy}\, dx = \int \left(- \frac{1}{dx y + 4 dx}\right)\, dy$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación
от левой части интеграл по x
$$\int \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{dy}\, dx = \frac{y{\left(x \right)}}{dy}$$
от правой части интеграл по y
$$\int \left(- \frac{1}{dx y + 4 dx}\right)\, dy = - \frac{\log{\left(dx y{\left(x \right)} + 4 dx \right)}}{dx}$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con y
es decir
$$\frac{y{\left(x \right)}}{dy} = C_{1} - \frac{\log{\left(dx y{\left(x \right)} + 4 dx \right)}}{dx}$$
Resolvermos esta ecuación:
Hallemos y'