Sr Examen
Ecuación diferencial dx*x^2*y^3+dy*(x^2*y+y)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 3 d 2 d
x *y (x) + --(y(x))*y(x) + x *--(y(x))*y(x) = 0
dx dx
$$x^{2} y^{3}{\left(x \right)} + x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x^2*y^3 + x^2*y*y' + y*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} y^{3}{\left(x \right)} + x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx x^{2}}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx x^{2}}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y} = Const - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{1}{C_{1} + x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
$$x^{2} y^{3}{\left(x \right)} + x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx x^{2}}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{dx x^{2}}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = \int \left(- \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y} = Const - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{1}{C_{1} + x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
Respuesta
[src]
y(x) = 0
$$y{\left(x \right)} = 0$$
1
y(x) = ----------------
C1 + x - atan(x)
$$y{\left(x \right)} = \frac{1}{C_{1} + x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral