Sr Examen
Ecuación diferencial dx*(x^2*y^2-1)=-2*dy*x^3*y
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 3 d
-1 + x *y (x) = -2*x *--(y(x))*y(x)
dx
$$x^{2} y^{2}{\left(x \right)} - 1 = - 2 x^{3} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
x^2*y^2 - 1 = -2*x^3*y*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x^{3} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{2} y^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$2 x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + u^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
o
$$2 x u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - u^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{2 du u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 u}{u^{2} + 1}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(u^{2} + 1 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x - 1}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x - 1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{\sqrt{C_{1} x - 1}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt{C_{1} x - 1}}{x}$$
$$2 x^{3} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x^{2} y^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$2 x^{2} u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + u^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
o
$$2 x u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - u^{2}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{u^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{2 u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{2 du u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2 u}{u^{2} + 1}\right)\, du = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(u^{2} + 1 \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} x - 1}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} x - 1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = - \frac{\sqrt{C_{1} x - 1}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\sqrt{C_{1} x - 1}}{x}$$
Respuesta
[src]
___________
-\/ -1 + C1*x
y(x) = ---------------
x
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{C_{1} x - 1}}{x}$$
___________
\/ -1 + C1*x
y(x) = -------------
x
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{C_{1} x - 1}}{x}$$
Clasificación
1st exact
Bernoulli
almost linear
separable reduced
lie group
1st exact Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
separable reduced Integral