Ecuación diferencial dx*(2*x^2*y+2*y+5)+dy*(2*x^3+2*x)=0

Tenemos la ecuación:
$$2 x^{3} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x^{2} y{\left(x \right)} + 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} + 5 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$2 x^{3} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + 2 x u{\left(x \right)} + 2 x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + 5 + \frac{2 u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
o
$$2 x^{2} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + 5 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{2 x^{2} + 2}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 5$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$5$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5} = - \frac{1}{2 x^{2} + 2}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5} = - \frac{dx}{2 x^{2} + 2}$$
o
$$\frac{du}{5} = - \frac{dx}{2 x^{2} + 2}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{5}\, du = \int \left(- \frac{1}{2 x^{2} + 2}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{u}{5} = Const - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{5 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{C_{1} - \frac{5 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}}{x}$$