Sr Examen
Ecuación diferencial sin^2xdy+sqrt(1-2y)dx=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
____________ 2 d
\/ 1 - 2*y(x) + sin (x)*--(y(x)) = 0
dx
$$\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}} + \sin^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
sqrt(1 - 2*y) + sin(x)^2*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}} + \sin^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 2 y}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{1 - 2 y} = Const + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{C_{1}^{2}}{2} - \frac{C_{1}}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}} + \sin^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{1 - 2 y{\left(x \right)}}} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 2 y}}\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{1 - 2 y} = Const + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{C_{1}^{2}}{2} - \frac{C_{1}}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}$$
Respuesta
[src]
2
1 C1 1 C1
y(x) = - - --- - --------- - ------
2 2 2 tan(x)
2*tan (x)
$$y{\left(x \right)} = - \frac{C_{1}^{2}}{2} - \frac{C_{1}}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)