Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(3+y^2)*dx-y*dy=y*x^2*dy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________
/ 2 d 2 d
\/ 3 + y (x) - --(y(x))*y(x) = x *--(y(x))*y(x)
dx dx
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
sqrt(y^2 + 3) - y*y' = x^2*y*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{y^{2} + 3} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3} - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{1}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 3}} = - \frac{dx}{x^{2} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{y^{2} + 3} = Const - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
Respuesta
[src]
____________________________________
/ 2 2
y(x) = -\/ -3 + C1 + atan (x) + 2*C1*atan(x)
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
____________________________________
/ 2 2
y(x) = \/ -3 + C1 + atan (x) + 2*C1*atan(x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \operatorname{atan}{\left(x \right)} + \operatorname{atan}^{2}{\left(x \right)} - 3}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.8183842875809667)
(-5.555555555555555, 0.9298902146907535)
(-3.333333333333333, 1.1503337613583793)
(-1.1111111111111107, 1.8312430379637152)
(1.1111111111111107, 3.8224575399488536)
(3.333333333333334, 4.3023666800595315)
(5.555555555555557, 4.424336959691076)
(7.777777777777779, 4.478228285177723)
(10.0, 4.508452255666336)
(10.0, 4.508452255666336)