Sr Examen
Ecuación diferencial y''-2y'+y=(e^x)((3x^2+5x+2)cos(2x)+4sin(2x))
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d / / 2 \ \ x
- 2*--(y(x)) + ---(y(x)) + y(x) = \4*sin(2*x) + \2 + 3*x + 5*x/*cos(2*x)/*e
dx 2
dx
$$y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
y - 2*y' + y'' = ((3*x^2 + 5*x + 2)*cos(2*x) + 4*sin(2*x))*exp(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -2$$
$$q = 1$$
$$s = - \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = 1$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = 1$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
o
$$x e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(x e^{x} + e^{x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - x \left(3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x \left(3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{3 x^{3} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{9 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{5 x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{5 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} + C_{4} x e^{x} - \frac{3 x^{2} e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 x e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 x e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{5 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{8}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$y{\left(x \right)} - 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -2$$
$$q = 1$$
$$s = - \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 2 k + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = 1$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = 1$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x} + C_{2} x e^{x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} = \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
o
$$x e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(x e^{x} + e^{x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \left(\left(3 x^{2} + 5 x + 2\right) \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - x \left(3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x \left(3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(3 x^{2} \cos{\left(2 x \right)} + 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{3 x^{3} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{9 x^{2} \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{5 x \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{5 x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{3 \cos{\left(2 x \right)}}{4}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} + C_{4} x e^{x} - \frac{3 x^{2} e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 x e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 x e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{5 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{8}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
/ sin(2*x) 5*cos(2*x) / 5*cos(2*x) 3*sin(2*x) 3*x*cos(2*x)\\ x
y(x) = |C1 + -------- + ---------- + x*|C2 - ---------- + ---------- - ------------||*e
\ 4 8 \ 4 2 4 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + x \left(C_{2} - \frac{3 x \cos{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{4}\right) + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{8}\right) e^{x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral