Sr Examen
Ecuación diferencial ln(t)y'+y=cot(y)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d --(y(t))*log(t) + y(t) = cot(y(t)) dt
$$y{\left(t \right)} + \log{\left(t \right)} \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}$$
y + log(t)*y' = cot(y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(t \right)} + \log{\left(t \right)} \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = \frac{1}{\log{\left(t \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{- y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}} = \frac{1}{\log{\left(t \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables t y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{- y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}} = \frac{dt}{\log{\left(t \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{- y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}} = \frac{dt}{\log{\left(t \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{- y + \cot{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{1}{\log{\left(t \right)}}\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \int \frac{1}{y - \cot{\left(y \right)}}\, dy = Const + \operatorname{li}{\left(t \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(t \right)}} \frac{1}{y - \cot{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} - \operatorname{li}{\left(t \right)}$$
$$y{\left(t \right)} + \log{\left(t \right)} \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} = \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = \frac{1}{\log{\left(t \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{- y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}} = \frac{1}{\log{\left(t \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables t y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{- y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}} = \frac{dt}{\log{\left(t \right)}}$$
o
$$\frac{dy}{- y{\left(t \right)} + \cot{\left(y{\left(t \right)} \right)}} = \frac{dt}{\log{\left(t \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{- y + \cot{\left(y \right)}}\, dy = \int \frac{1}{\log{\left(t \right)}}\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$- \int \frac{1}{y - \cot{\left(y \right)}}\, dy = Const + \operatorname{li}{\left(t \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = \int\limits^{y{\left(t \right)}} \frac{1}{y - \cot{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} - \operatorname{li}{\left(t \right)}$$
Respuesta
[src]
y(t)
/
|
| 1
| ----------- dy = C1 - li(t)
| -cot(y) + y
|
/
$$\int\limits^{y{\left(t \right)}} \frac{1}{y - \cot{\left(y \right)}}\, dy = C_{1} - \operatorname{li}{\left(t \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(t, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)