Sr Examen
Ecuación diferencial 2yy’’=1-3x^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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2
d 2
2*---(y(x))*y(x) = 1 - 3*x
2
dx
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 1 - 3 x^{2}$$
2*y*y'' = 1 - 3*x^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 1 - 3 x^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1 - 3 x^{2}}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{1}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{1}{2}$$
obtendremos
$$- 2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2} - 1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- 2 dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(3 x^{2} - 1\right)}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$- 2 dy' = \frac{dx \left(3 x^{2} - 1\right)}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-2\right)\, dy' = \int \frac{3 x^{2} - 1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 y' = Const + \int \frac{3 x^{2} - 1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{3 \int \frac{x^{2}}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2} + \frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} - \frac{3 \int \frac{x^{2}}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2} + \frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \frac{\int 2 C_{1}\, dx + \int \left(- 3 \int \frac{x^{2}}{y{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx + \iint \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx\, dx}{2}$$
$$2 y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 1 - 3 x^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1 - 3 x^{2}}{y{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{1}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{1}{2}$$
obtendremos
$$- 2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{3 x^{2} - 1}{y{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- 2 dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(3 x^{2} - 1\right)}{y{\left(x \right)}}$$
o
$$- 2 dy' = \frac{dx \left(3 x^{2} - 1\right)}{y{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-2\right)\, dy' = \int \frac{3 x^{2} - 1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 y' = Const + \int \frac{3 x^{2} - 1}{y{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{3 \int \frac{x^{2}}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2} + \frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} - \frac{3 \int \frac{x^{2}}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2} + \frac{\int \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx}{2}\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \frac{\int 2 C_{1}\, dx + \int \left(- 3 \int \frac{x^{2}}{y{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx + \iint \frac{1}{y{\left(x \right)}}\, dx\, dx}{2}$$