Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y"+4y'+10y=0
- Ecuación (x^2)*y'=y-x*y
- Ecuación x^2*y'-2*x*y+y^2=0
- Ecuación y"-2y'+10y=0
- Derivada de:
-
e^2*x
- Integral de d{x}:
- e^2*x
- Gráfico de la función y =:
-
e^2*x
-
Expresiones idénticas
- cinco *y+ dos *y'+y''=e^ dos *x
- 5 multiplicar por y más 2 multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden más y dos signos de prima para el segundo (2) orden es igual a e al cuadrado multiplicar por x
- cinco multiplicar por y más dos multiplicar por y signo de prima para el primer (1) orden más y dos signos de prima para el segundo (2) orden es igual a e en el grado dos multiplicar por x
- 5*y+2*y'+y''=e2*x
- 5*y+2*y'+y''=e²*x
- 5*y+2*y'+y''=e en el grado 2*x
- 5y+2y'+y''=e^2x
- 5y+2y'+y''=e2x
-
Expresiones semejantes
- 5y+2y'+y''=4e^x
- 5*y-2*y'+y''=e^2*x
- 5*y+2*y'-y''=e^2*x
Ecuación diferencial 5*y+2*y'+y''=e^2*x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d 2
2*--(y(x)) + 5*y(x) + ---(y(x)) = x*e
dx 2
dx
$$5 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x e^{2}$$
5*y + 2*y' + y'' = x*exp(2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$5 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x e^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 2$$
$$q = 5$$
$$s = - x e^{2}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - 2 i$$
$$k_{2} = -1 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = x e^{2}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + 2 i\right)} = x e^{2}$$
o
$$e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 - 2 i\right) e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(-1 + 2 i\right) e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = x e^{2}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{i x e^{x + 2 i x + 2}}{4}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{i x e^{x - 2 i x + 2}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{i x e^{x + 2 i x + 2}}{4}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{i x e^{x - 2 i x + 2}}{4}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{i \left(\frac{x e^{2} e^{x} e^{2 i x}}{5} - \frac{2 i x e^{2} e^{x} e^{2 i x}}{5} + \frac{3 e^{2} e^{x} e^{2 i x}}{25} + \frac{4 i e^{2} e^{x} e^{2 i x}}{25}\right)}{4}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{i \left(\frac{x e^{2} e^{x} e^{- 2 i x}}{5} + \frac{2 i x e^{2} e^{x} e^{- 2 i x}}{5} + \frac{3 e^{2} e^{x} e^{- 2 i x}}{25} - \frac{4 i e^{2} e^{x} e^{- 2 i x}}{25}\right)}{4}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{- x} e^{2 i x} + \frac{x e^{2}}{5} - \frac{2 e^{2}}{25}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$5 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = x e^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 2$$
$$q = 5$$
$$s = - x e^{2}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - 2 i$$
$$k_{2} = -1 + 2 i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + C_{2} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 - 2*i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1 + 2*i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = x e^{2}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + 2 i\right)} = x e^{2}$$
o
$$e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 - 2 i\right) e^{x \left(-1 - 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(-1 + 2 i\right) e^{x \left(-1 + 2 i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = x e^{2}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{i x e^{x + 2 i x + 2}}{4}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{i x e^{x - 2 i x + 2}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{i x e^{x + 2 i x + 2}}{4}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{i x e^{x - 2 i x + 2}}{4}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{i \left(\frac{x e^{2} e^{x} e^{2 i x}}{5} - \frac{2 i x e^{2} e^{x} e^{2 i x}}{5} + \frac{3 e^{2} e^{x} e^{2 i x}}{25} + \frac{4 i e^{2} e^{x} e^{2 i x}}{25}\right)}{4}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{i \left(\frac{x e^{2} e^{x} e^{- 2 i x}}{5} + \frac{2 i x e^{2} e^{x} e^{- 2 i x}}{5} + \frac{3 e^{2} e^{x} e^{- 2 i x}}{25} - \frac{4 i e^{2} e^{x} e^{- 2 i x}}{25}\right)}{4}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - 2 i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + 2 i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{- 2 i x} + C_{4} e^{- x} e^{2 i x} + \frac{x e^{2}}{5} - \frac{2 e^{2}}{25}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
2 2
2*e -x x*e
y(x) = - ---- + (C1*sin(2*x) + C2*cos(2*x))*e + ----
25 5
$$y{\left(x \right)} = \frac{x e^{2}}{5} + \left(C_{1} \sin{\left(2 x \right)} + C_{2} \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x} - \frac{2 e^{2}}{25}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral