Ecuación diferencial xy'=(4+y^2)(2x+1)

Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(2 x + 1\right) \left(y^{2}{\left(x \right)} + 4\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - 2 x - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)} - 4$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(2 x + 1\right) \left(y^{2}{\left(x \right)} + 4\right)}{x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)} - 4$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4} = -2 - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 4} = dx \left(-2 - \frac{1}{x}\right)$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} + 4} = dx \left(-2 - \frac{1}{x}\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2} + 4}\right)\, dy = \int \left(-2 - \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{y}{2} \right)}}{2} = Const - 2 x - \log{\left(x \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \tan{\left(C_{1} + 4 x + 2 \log{\left(x \right)} \right)}$$