Ecuación diferencial lny/x*y'=ye^x

Tenemos la ecuación:
$$\frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = y{\left(x \right)} e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\frac{1}{x}$$
obtendremos
$$\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)} e^{x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - x e^{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - dx x e^{x}$$
o
$$- \frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - dx x e^{x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\log{\left(y \right)}}{y}\right)\, dy = \int \left(- x e^{x}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const + \left(1 - x\right) e^{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{2} \sqrt{C_{1} + x e^{x} - e^{x}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} + x e^{x} - e^{x}}}$$