Sr Examen
Ecuación diferencial (a+2x)dy/dx+2y-(a+2x)e^(bx)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d b*x
2*y(x) + (a + 2*x)*--(y(x)) - (a + 2*x)*e = 0
dx
$$- \left(a + 2 x\right) e^{b x} + \left(a + 2 x\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)} = 0$$
-(a + 2*x)*exp(b*x) + (a + 2*x)*y' + 2*y = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$a + 2 x$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{- \left(a + 2 x\right) e^{b x} + \left(a + 2 x\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)}}{a + 2 x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{2}{a + 2 x}$$
y
$$Q{\left(x \right)} = e^{b x}$$
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{2}{a + 2 x}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{2}{a + 2 x}\, dx = \log{\left(a + 2 x \right)} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{a + 2 x}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{a + 2 x}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C}{a + 2 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{a + 2 x}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = \left(a + 2 x\right) e^{b x}$$
Es decir, C(x) =
$$\int \left(a + 2 x\right) e^{b x}\, dx = \begin{cases} \frac{\left(a b + 2 b x - 2\right) e^{b x}}{b^{2}} & \text{for}\: b^{2} \neq 0 \\a x + x^{2} & \text{otherwise} \end{cases} + Const$$
sustituimos C(x) en
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{a + 2 x}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$\frac{\begin{cases} \frac{\left(a b + 2 b x - 2\right) e^{b x}}{b^{2}} & \text{for}\: b^{2} \neq 0 \\a x + x^{2} & \text{otherwise} \end{cases} + Const}{a + 2 x}$$
$$a + 2 x$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{- \left(a + 2 x\right) e^{b x} + \left(a + 2 x\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 y{\left(x \right)}}{a + 2 x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = Q(x)
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{2}{a + 2 x}$$
y
$$Q{\left(x \right)} = e^{b x}$$
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y' + P(x)y = 0
con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{2}{a + 2 x}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{2}{a + 2 x}\, dx = \log{\left(a + 2 x \right)} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{a + 2 x}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{a + 2 x}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C}{a + 2 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y' + P(x)y = Q(x)
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{a + 2 x}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = \left(a + 2 x\right) e^{b x}$$
Es decir, C(x) =
$$\int \left(a + 2 x\right) e^{b x}\, dx = \begin{cases} \frac{\left(a b + 2 b x - 2\right) e^{b x}}{b^{2}} & \text{for}\: b^{2} \neq 0 \\a x + x^{2} & \text{otherwise} \end{cases} + Const$$
sustituimos C(x) en
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{a + 2 x}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$\frac{\begin{cases} \frac{\left(a b + 2 b x - 2\right) e^{b x}}{b^{2}} & \text{for}\: b^{2} \neq 0 \\a x + x^{2} & \text{otherwise} \end{cases} + Const}{a + 2 x}$$
Respuesta
[src]
/ b*x 2 b*x b*x
| 2*e C1*b a*b*e 2*b*x*e 2
|- ------------- + ------------- + ------------- + ------------- for b != 0
| 2 2 2 2 2 2 2 2
| a*b + 2*x*b a*b + 2*x*b a*b + 2*x*b a*b + 2*x*b
y(x) = <
| 2
| C1 x a*x
| ------- + ------- + ------- otherwise
| a + 2*x a + 2*x a + 2*x
\
$$y{\left(x \right)} = \begin{cases} \frac{C_{1} b^{2}}{a b^{2} + 2 b^{2} x} + \frac{a b e^{b x}}{a b^{2} + 2 b^{2} x} + \frac{2 b x e^{b x}}{a b^{2} + 2 b^{2} x} - \frac{2 e^{b x}}{a b^{2} + 2 b^{2} x} & \text{for}\: b^{2} \neq 0 \\\frac{C_{1}}{a + 2 x} + \frac{a x}{a + 2 x} + \frac{x^{2}}{a + 2 x} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Clasificación
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral