Sr Examen
Ecuación diferencial x^2*y^2*y'+1=y
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 d
1 + x *y (x)*--(y(x)) = y(x)
dx
$$x^{2} y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = y{\left(x \right)}$$
x^2*y^2*y' + 1 = y
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x^{2} y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)} - 1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)} - 1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{dy y^{2}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y^{2}}{y - 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} - y - \log{\left(y - 1 \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{2} - y{\left(x \right)} - \log{\left(y{\left(x \right)} - 1 \right)} - \frac{1}{x} = C_{1}$$
$$x^{2} y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = y{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)} - 1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)} - 1}{y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{dy y^{2}{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} - 1} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y^{2}}{y - 1}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{y^{2}}{2} - y - \log{\left(y - 1 \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{2} - y{\left(x \right)} - \log{\left(y{\left(x \right)} - 1 \right)} - \frac{1}{x} = C_{1}$$
Respuesta
[src]
2 1 y (x) - - - log(-1 + y(x)) - y(x) - ----- = C1 x 2
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)}}{2} - y{\left(x \right)} - \log{\left(y{\left(x \right)} - 1 \right)} - \frac{1}{x} = C_{1}$$
Clasificación
separable
lie group
separable Integral