Sr Examen
Ecuación diferencial 2*x^2*y*y'+y^2=2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 d
y (x) + 2*x *--(y(x))*y(x) = 2
dx
$$2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 2$$
2*x^2*y*y' + y^2 = 2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 2$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{2 - y^{2}{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{2 - y^{2}{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{2 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$\frac{2 dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y^{2} - 2 \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$
$$2 x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 2$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{2 - y^{2}{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{2 - y^{2}{\left(x \right)}}{2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{2 dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$\frac{2 dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 2} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{2 y}{y^{2} - 2}\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y^{2} - 2 \right)} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$
Respuesta
[src]
___________
/ 1
/ -
/ x
y(x) = -\/ 2 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$
___________
/ 1
/ -
/ x
y(x) = \/ 2 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{\frac{1}{x}} + 2}$$
Clasificación
separable
1st exact
Bernoulli
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral