Ecuación diferencial t*x^3+x/t+dx/dt=0

Tenemos la ecuación:
$$t x^{3}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + \frac{x{\left(t \right)}}{t} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(t \right)} = t x{\left(t \right)}$$
y porque
$$x{\left(t \right)} = \frac{u{\left(t \right)}}{t}$$
entonces
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \frac{\frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{t} - \frac{u{\left(t \right)}}{t^{2}}$$
sustituimos
$$\frac{d}{d t} \frac{u{\left(t \right)}}{t} + \frac{u^{3}{\left(t \right)}}{t^{2}} + \frac{u{\left(t \right)}}{t^{2}} = 0$$
o
$$\frac{\frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{t} + \frac{u^{3}{\left(t \right)}}{t^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - \frac{1}{t}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{3}{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{3}{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{u^{3}{\left(t \right)}} = - \frac{1}{t}$$
Con esto hemos separado las variables t y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} u{\left(t \right)}}{u^{3}{\left(t \right)}} = - \frac{dt}{t}$$
o
$$\frac{du}{u^{3}{\left(t \right)}} = - \frac{dt}{t}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{u^{3}}\, du = \int \left(- \frac{1}{t}\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 u^{2}} = Const - \log{\left(t \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(t \right)} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - \log{\left(t \right)}}}}{2}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(t \right)} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - \log{\left(t \right)}}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$x{\left(t \right)} = \frac{u{\left(t \right)}}{t}$$
$$x1 = x(t) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - \log{\left(t \right)}}}}{2 t}$$
$$x2 = x(t) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} - \log{\left(t \right)}}}}{2 t}$$