Ecuación diferencial dx/dt=4(x-x^2-1)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = - 4 x^{2}{\left(t \right)} + 4 x{\left(t \right)} - 4$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = 4 x^{2}{\left(t \right)} - 4 x{\left(t \right)} + 4$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$4 x^{2}{\left(t \right)} - 4 x{\left(t \right)} + 4$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{4 \left(x^{2}{\left(t \right)} - x{\left(t \right)} + 1\right)} = -1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{4 \left(x^{2}{\left(t \right)} - x{\left(t \right)} + 1\right)} = - dt$$
o
$$\frac{dx}{4 \left(x^{2}{\left(t \right)} - x{\left(t \right)} + 1\right)} = - dt$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{4 \left(x^{2} - x + 1\right)}\, dx = \int \left(-1\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{6} = Const - t$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = \frac{\sqrt{3} \tan{\left(C_{1} - 2 \sqrt{3} t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$