Ecuación diferencial dx/dt=(10-x)(50-x)

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = \left(10 - x{\left(t \right)}\right) \left(50 - x{\left(t \right)}\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = - x^{2}{\left(t \right)} + 60 x{\left(t \right)} - 500$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$- x^{2}{\left(t \right)} + 60 x{\left(t \right)} - 500$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)} - 60 x{\left(t \right)} + 500} = -1$$
Con esto hemos separado las variables t y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x^{2}{\left(t \right)} - 60 x{\left(t \right)} + 500} = - dt$$
o
$$- \frac{dx}{x^{2}{\left(t \right)} - 60 x{\left(t \right)} + 500} = - dt$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \left(- \frac{1}{x^{2} - 60 x + 500}\right)\, dx = \int \left(-1\right)\, dt$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con t
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(x - 50 \right)}}{40} + \frac{\log{\left(x - 10 \right)}}{40} = Const - t$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = \frac{10 \left(5 e^{40 C_{1} - 40 t} - 1\right)}{e^{40 C_{1} - 40 t} - 1}$$