Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt3+y^2+sqrt1-x^2yy'=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___ 2 2 d
1 + \/ 3 + y (x) - x *--(y(x))*y(x) = 0
dx
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3} = 0$$
-x^2*y*y' + y^2 + 1 + sqrt(3) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{2} + 1 + \sqrt{3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 + \sqrt{3} \right)}}{2} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2}{x}} - \sqrt{3} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2}{x}} - \sqrt{3} - 1}$$
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} + 1 + \sqrt{3}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{y^{2} + 1 + \sqrt{3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y^{2} + 1 + \sqrt{3} \right)}}{2} = Const + \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2}{x}} - \sqrt{3} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2}{x}} - \sqrt{3} - 1}$$
Respuesta
[src]
______________________
/ -2
/ ---
/ ___ x
y(x) = -\/ -1 - \/ 3 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2}{x}} - \sqrt{3} - 1}$$
______________________
/ -2
/ ---
/ ___ x
y(x) = \/ -1 - \/ 3 + C1*e
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} e^{- \frac{2}{x}} - \sqrt{3} - 1}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
Bernoulli
almost linear
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.8696222815637771)
(-5.555555555555555, 1.0649604423028491)
(-3.333333333333333, 1.4774446988807008)
(-1.1111111111111107, 3.685916675948909)
(1.1111111111111107, 6.309419063315552e+24)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 1.1171272167260109e+165)
(7.777777777777779, 8.388243571812246e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)