Sr Examen
Ecuación diferencial (2x+y+1)dx-(4x+2y-3)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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d d d
1 + 2*x + 3*--(y(x)) - 4*x*--(y(x)) - 2*--(y(x))*y(x) + y(x) = 0
dx dx dx
$$- 4 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
-4*x*y' + 2*x - 2*y*y' + y + 3*y' + 1 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- 4 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - 4 x - 2 y{\left(x \right)} + 3$$
y porque
$$- 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 4 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - 2$$
sustituimos
$$- 4 x \frac{d}{d x} \left(- 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}\right) - 2 \left(- 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}\right) \frac{d}{d x} \left(- 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}\right) - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + 3 \frac{d}{d x} \left(- 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}\right) + \frac{5}{2} = 0$$
o
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 u{\left(x \right)}}{2} + \frac{5}{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 5 - \frac{5}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$5 - \frac{5}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 \left(u{\left(x \right)} - 1\right)} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 \left(u{\left(x \right)} - 1\right)} = - dx$$
o
$$\frac{du u{\left(x \right)}}{5 \left(u{\left(x \right)} - 1\right)} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u}{5 \left(u - 1\right)}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{u}{5} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{5} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = W\left(C_{1} e^{- 5 x - 1}\right) + 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}$$
$$y1 = y(x) = - 2 x - \frac{W\left(C_{1} e^{- 5 x - 1}\right)}{2} + 1$$
$$- 4 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 2 x - 2 y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} + 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = - 4 x - 2 y{\left(x \right)} + 3$$
y porque
$$- 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 4 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - 2$$
sustituimos
$$- 4 x \frac{d}{d x} \left(- 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}\right) - 2 \left(- 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}\right) \frac{d}{d x} \left(- 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}\right) - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + 3 \frac{d}{d x} \left(- 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}\right) + \frac{5}{2} = 0$$
o
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} - \frac{5 u{\left(x \right)}}{2} + \frac{5}{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = 5 - \frac{5}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$5 - \frac{5}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 \left(u{\left(x \right)} - 1\right)} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{5 \left(u{\left(x \right)} - 1\right)} = - dx$$
o
$$\frac{du u{\left(x \right)}}{5 \left(u{\left(x \right)} - 1\right)} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{u}{5 \left(u - 1\right)}\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{u}{5} + \frac{\log{\left(u - 1 \right)}}{5} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = W\left(C_{1} e^{- 5 x - 1}\right) + 1$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - 2 x - \frac{u{\left(x \right)}}{2} + \frac{3}{2}$$
$$y1 = y(x) = - 2 x - \frac{W\left(C_{1} e^{- 5 x - 1}\right)}{2} + 1$$
Clasificación
factorable
1st power series
lie group